Função Exponencial

 função exponencial natural é a função exp:RR+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:

1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0<exp(x)<1 se x<0
3. exp(x)=1 se x=0
4. exp(x)>1 se x>0

No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Exemplos:

Ln[exp(5)]=5

exp[ln(5)]=5

Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2

exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2

exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³

exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk

exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7

A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).

exp[Ln(y)]=y para todo y>0.

Ln[exp(x)]=x para todo x real.

exp(x+y)=exp(x) exp(y)

exp(x-y)=exp(x)/exp(y)

exp(x.k)=[exp(x)]k

Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:

exp[Ln(3)]=3.

Ln[exp(20x)]=20x.

exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.

exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

ar=exp[Ln(ar)]

Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:

ar = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:

ax=exp[x.Ln(a)]

Leis dos expoentes

Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:

axay=ax+y

ax/ay=ax-y

(ax) y=ax.y

(a b)x=axbx

(a/b)x=ax/bx

a-x=1/ax

Relação de Euler

Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

Algumas Aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c - a e-k.x

onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

A função:

f(x) = c - a e-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.

Se N=No/2 para t=T, temos

No/2 = No e-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

EQUAÇÕES RECÍPROCAS

Seja a equação racional inteira a0.x n + a1.x n-1 + a2.x n-2 + ... + an = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x , com a0 , a1 , ... , an números reais sendo a0 ¹ 0 e n inteiro positivo.

Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie.

Exemplos:

2x5 + 3x4 - 5x3 - 5x2 + 3x + 2 = 0 - equação recíproca de 1ª espécie
2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 - equação recíproca de 2ª espécie.

Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro membro da equação, por x ± 1, o que facilitará sobremaneira a resolução da mesma.

Seja resolver a equação recíproca 2x5 - 3x4 - 5x3 + 5x2 + 3x - 2 = 0 .
Trata-se de uma equação recíproca de 2ª espécie.
Observe que 1 é raiz da equação pois: 2.15 - 3.14 - 5.13 + 5.12 + 3.1 - 2 = 0 .

Vamos dividir o primeiro membro da equação dada por x - 1, de modo a abaixar o grau da equação.

Utilizaremos o método de Briot-Ruffini:

2 -3 -5 5 3 -2 
1 2 -1 -6 -1 2 0

Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

A equação dada pode então ser escrita na forma fatorada, como:

(x - 1). (2x4 - x3 - 6 x2 - x + 2) = 0
Logo, 2x4 - x3 - 6 x2 - x + 2 = 0

Dividindo ambos os membros por x2 , vem:

2x2 - x - 6 - 1/x + 2/x2 = 0
2x2 + 2/x2 - x - 1/x - 6 = 0
2(x2 + 1/x2) - (x + 1/x) - 6 = 0

Observe agora, que:

(x + 1/x)2 = x2 + 2.x.(1/x) + 1/x2 =x2 + 1/x2 + 2

Portanto,

x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - 2

Substituindo na equação em negrito acima, fica:

2[(x + 1/x)2 - 2] - (x + 1/x) - 6 = 0
2(x + 1/x)2 - 4 - (x + 1/x) - 6 = 0

Fazendo x + 1/x = y , vem:

2y2 - 4 - y - 6 = 0
2y2 - y - 10 = 0

Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2 .

Substituindo em x + 1/x = y, vem:

x + 1/x = 5/2 \ 2x2 - 5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.
x + 1/x = -2 \ x2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1)2 = 0 \ x = -1 ou x = -1.

Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:

S = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}

Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla.

Fonte: www.terra.com.br

DETERMINANTES

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a11 a22 - a21 a12

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3:

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

Se In é a matriz identidade, então:

det(In) = 1

Se N é uma matriz nula, então:

det(N) = 0

Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

det(A) = 0

A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

det(At) = det(A)

Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

det(B) = k det(A)

Se B=kA, onde k é um escalar, então:

det(B) = kn det(A)

Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:

det(B) = - det(A)

Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:

det(A) = 0

Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:

det(A) = 0

Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

det(A) = 0

Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.

Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.

Fonte: pessoal.sercomtel.com.br 

DESIGUALDADES REAIS

O sistema ordenado dos números reais

Trabalhar com desigualdades é muito importante em Matemática, mas são necessários alguns conceitos de ordem sobre o conjunto R dos números reais para dar sentido ao estudo de desigualdades. Nosso trabalho admite que você já sabe o que é um número real e que também já conhece as principais propriedades dos reais.

O conjunto R dos números reais pode ser construído a partir dos 11 postulados (afirmações aceitas sem demonstração) listados abaixo:

1. Fecho aditivo: Para quaisquer aR e bR, a soma de a e b, indicada por a+b, também é um elemento de R.

2. Associatividade aditiva: Para quaisquer aR, bR e cR, tem-se que (a+b)+c=a+(b+c).

3. Comutatividade aditiva: Para quaisquer aR e bR, tem-se que a+b=b+a.

4. Elemento neutro aditivo: Existe 0R, denominado zero, tal que 0+a=a, para todo aR.

5. Elemento oposto: Para cada aR, existe -aR tal que a+(-a)=0.

6. Fecho multiplicativo: Para quaisquer aR e bR, o produto (ou multiplicação) de a e b, indicado por a×b, por a.b ou simplesmente por ab, também é um elemento de R.

7. Associatividade multiplicativa: Para quaisquer aR, bR e cR, tem-se que (a.b).c=a.(b.c).

8. Comutatividade multiplicativa: Para quaisquer aR e bR, tem-se que a.b=b.a.

9. Elemento neutro multiplicativo: Existe 1R, denominado um, tal que 1.a=a, qualquer que seja aR.

10. Elemento inverso: Para cada aR, sendo a diferente de zero, existe a-1R tal que a.a-1=1. É bastante comum usar a-1=1/a

11. Distributividade: Quaisquer que sejam aR, bR e cR, tem-se que a.(b+c)=a.b+a.c

A reta numerada

Geometricamente, a reta real pode ser vista como uma linha reta horizontal tendo a origem em um ponto O. Ao marcar um outro ponto U, determinamos um segmento de reta OU e assim o sentido de O para U é tomado como positivo e o sentido contrário como negativo.

___________O__________U___________

A origem O recebe o valor zero, que é o elemento neutro da adição. O segmento OU deve medir uma unidade, indicada por 1, que é o elemento neutro da multiplicação.

___________0__________1___________

Uma relação de ordem sobre R

Construiremos agora uma relação de ordem. Para dois números reais a e b, escrevemos a<b para entender que "a é menor do que b". Esta mesma relação pode ser escrita na forma b>a para significar que "b é maior do que a". Esta situação ocorre quando o número a está localizado à esquerda do número b na reta numerada.

___________a__________b___________

Dizemos que c é positivo se c>0. Do ponto de vista geométrico, c deve ser marcado à direita de 0.

___________0__________c___________

Esta relação de ordem satisfaz a uma série de axiomas (objetos matemáticos que são aceitos sem demonstração), conhecidos como axiomas de ordem:

1. Tricotomia: Para quaisquer números reais a e b, somente pode valer uma das três situações abaixo:

a<b, ou a=b, ou a>b

2. Translação: Se a<b então a+c<b+c para todo c em R.

______a______b______a+c____b+c______

3. Positividade: Se a<b e c>0 então a.c<b.c.

______a______b______a.c____b.c______

4. Transitividade: Se a<b e b<c, então a<c.

______a______b______c________

Módulo de um número real

O módulo (ou valor absoluto) de um número real a é definido como o valor máximo entre a e -a, denotado por:

|a|=max{a,-a}

Exemplo:

1. |0|=0, |-7|=|7|=7, |-a|=|a|, |a²|=a²

2. |a+b||a|+|b|

3. |a-b||a|-|b|

4. |a+b|²|a|²+|b|²+2|a||b|

Desigualdades reais

Uma desigualdade em uma variável real x é uma relação matemática de uma das formas abaixo:

f(x)<0, f(x)>0, f(x)<0, f(x)>0

onde f=f(x) é uma função real de variável real. As duas primeiras desigualdades são estritas e as duas últimas são não-estritas.

A desigualdade do tipo f(x)<0 é não-estrita e equivale a duas relações: uma desigualdade estrita f(x)<0 e uma igualdade f(x)=0.

Exemplos: Dos quatro tipos acima citados.

2x+3<0, 2x+3>0, 2x+3<0, 2x+3>0

Produto de uma desigualdade por um real

Ao multiplicar uma desigualdade por um número real positivo, obtemos outra desigualdade equivalente com o mesmo sinal que a primeira, mas se multiplicarmos a desigualdade por um número real negativo, a nova desigualdade terá o sinal de<trocado por >.

Desigualdade Sinal Produto f(x)<0 a>0 a.f(x)<0 f(x)>0 a>0 a.f(x)>0 f(x)<0 a>0 a.f(x)<0 f(x)>0 a>0 a.f(x)>0

Desigualdade Sinal Produto f(x)<0 a<0 a.f(x)>0 f(x)>0 a<0 a.f(x)<0 f(x)>0 a<0 a.f(x)<0 f(x)>0 a<0 a.f(x)<0

Conjunto solução de uma desigualdade

Em uma desigualdade, o que interessa é obtermos o conjunto solução, que é o conjunto de todos os números reais para os quais vale a desigualdade. Para a desigualdade f(x)<0, o conjunto solução será dado por

S = {xR: f(x)<0 }

As outras três formas são semelhantes.

Desigualdades equivalentes

Duas desigualdades são equivalentes se os seus conjuntos soluções são iguais.

Exemplo: São equivalentes as desigualdades:

2x-4<0 e 2-x>0

pois seus conjuntos soluções coincidem, isto é:

S = {xR: x<2} = (-,2]

Observação: Para construir o conjunto solução de uma desigualdade da forma f(x)<0, devemos garantir que os valores de x só podem pertencer ao conjunto solução se estiverem no domínio de definição da função f=f(x).

Exemplo: Consideremos a desigualdade (x-2)/x<0, que aparece nos livros na forma:

x-2 
-----<0 
x

Se cometermos o erro de multiplicar a desigualdade acima por x (sem analisar o sinal de x), obteremos x-2<0 e chegaremos ao conjunto

S = {xR: x<2} = (-,2]

pois nesse caso, x=0 pertence ao conjunto S mas não pertence ao domínio da função real f(x)=(x-2)/x.

Devemos então assumir que x=0 não pertence ao conjunto solução desta desigualdade. Na sequência, mostraremos como resolver corretamente esta desigualdade.

Sistema de desigualdades

Em sistemas matemáticos aplicados (por exemplo, na área de otimização), é comum a ocorrência de sistemas formados por várias desigualdades e nesse caso, torna-se importante obter o conjunto solução do sistema e não somente de uma das desigualdades do sistema.

Exemplo: O conjunto solução que satisfaz às desigualdades

2x-8>0 e x>20

é S={xR:x>20}=(20,), que é a interseção dos conjuntos soluções das duas desigualdades.

Desigualdades importantes

Desigualdades triangulares: Para quaisquer números reais a e b, tem-se que:

|a+b|<|a|+|b|

|a-b|<|a|+|b|

|a|-|b|<|a-b|

||a|-|b||<|a-b|

Desigualdades entre médias: Para quaisquer números reais positivos a e b, tem-se que:

sendo que o termo à esquerda é a média harmônica, o termo do meio é a média geométrica e o termo à direita é a média aritmética entre a e b.

Para aprender mais sobre médias e desigualdades, veja nossos links sobre Máximos e mínimos nesta Página Matemática Essencial.

Principais tipos de desigualdades

Existem alguns tipos mais comuns de desigualdades com números reais. Na sequência, apresentaremos as formas possíveis e os seus respectivos conjuntos soluções para os seguintes tipos: Linear, Quadrática, Fração linear, Produto de fatores, Produto e quociente de fatores, uma forma alternativa de Fração linear, Irracional, Modular e Exponencial

Desigualdade Linear

O nome linear provém do fato que a equação da reta no plano, quase sempre pode ser escrita na forma y=ax+b. Existem 8 tipos básicos de desigualdades lineares

ax+b<0, ax+b>0, ax+b<0, ax+b>0

cujos conjuntos soluções dependem fortemente da solução (raiz) de ax+b=0.

Desigualdade	Sinal	Conjunto solução
ax+b<0	a>0	S=(-,-b/a)
ax+b>0	a>0	S=(-b/a,)
ax+b<0	a>0	S=(-,-b/a]
ax+b>0	a>0	S=[-b/a,)

Desigualdade	Sinal	Conjunto solução
ax+b<0	a<0	S=(-b/a,)
ax+b>0	a<0	S=(-,-b/a)
ax+b<0	a<0	S=[-b/a,)
ax+b>0	a<0	S=(-,-b/a]

Desigualdade quadrática

Dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c de uma equação quadrática ax2+bx+c=0, poderemos ter duas raízes reais diferentes, apenas uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real. Este fato influencia fortemente na obtenção do conjunto solução de uma desigualdade quadrática. O símbolo significa infinito e U é o símbolo de reunião de conjuntos. Existem 24 tipos básicos distribuídos em 6 tabelas, quando ax²+bx+c=0

1. possui raízes reais r e s com r<s

Desigualdade	Sinal	Conjunto solução
ax²+bx+c<0	a>0	S=(r,s)
ax²+bx+c>0	a>0	S=(-,r)U(s,)
ax²+bx+c<0	a>0	S=[r,s]
ax²+bx+c>0	a>0	S=(-,r]U[s,)

2.possui somente a raiz real dupla r

3. não possui raízes reais

4. possui raízes reais r e s com r<s

5. possui somente a raiz real dupla r

6. não possui raízes reais

Desigualdade com fração linear (I)

Uma desigualdade tem a forma de fração linear se pode ser escrita em um dos quatro tipos básicos

Se c=0 e d0, estas frações se tornam casos particulares de desigualdades lineares, razão pela qual tomaremos c0. Para obter o conjunto solução, devemos eliminar a fração.

Estudaremos apenas a primeira desigualdade, pois as outras são semelhantes. Consideremos

Sabemos que cx+d>0 ou cx+d<0 ou cx+d=0. Se cx+d=0 então x=-d/c não pertence ao conjunto solução. Para os valores de x tal que cx+d é diferente de zero, temos que (cx+d)²>0. Ao multiplicar a fração linear por (cx+d)²>0, eliminaremos a fração e passaremos a ter

(cx+d)(ax+b)<p(cx+d)²

Passando as expressões algébricas para o primeiro membro, obteremos

(cx+d)[(ax+b)-p(cx+d)]<0

que ainda pode ser escrita na forma

(cx+d)(mx+n)<0

onde m=a-pc e n=b-pd. Após as simplificações possíveis, obtemos uma desigualdade linear ou quadrática, como o produto de dois fatores lineares.

Desigualdade com produto de fatores lineares

Se uma desigualdade possui um produto de fatores lineares, existe o método dos intervalos que facilita a obtenção do conjunto solução. Iremos mostrar com um exemplo como funciona este método.

Exemplo: Seja a desigualdade

2(x+3)(x-5)(x-7) > 0

Decompomos a desigualdade acima em três desigualdades lineares, obter a raiz da expressão algébrica de cada desigualdade linear, analisar o sinal de cada uma delas separadamente e realizar o "produto dos sinais". As raízes das equações associadas às desigualdades lineares são r=-3, s=5 e t=7. A reta R será decomposta em 4 intervalos.

Como o produto dos fatores deve ser positivo, o conjunto solução é S=(-3,5)U(7,).

Desigualdade com produto e quociente de fatores lineares

Quando uma desigualdade possui produtos, divisões de fatores lineares, ou ambos, o método dos intervalos facilita a obtenção do conjunto solução. Mostraremos de novo com um exemplo

Exemplo: Seja a desigualdade

De novo, decompomos esta desigualdade em três desigualdades lineares, obtemos a raiz de cada expressão algébrica da desigualdade linear, analisamos cada uma delas separadamente e realizamos as operações de produto de sinais ou divisão de sinais ou ambos

O conjunto solução é S=(-3,5)U(7,)

Desigualdade com Fração linear (II)

Seja uma desigualdade que é uma fração linear, como por exemplo

que pode ser escrita na forma

(cx+d)(mx+n)<0

onde m=a-pc e n=b-pd. Os zeros da função

f(x) = (cx+d)(mx+n) = c.m.(x+d/c)(x+n/m)

são r=-d/c e s=-n/m. Admitindo que r<s e analisando cada desigualdade separadamente e na sequência realizando o "produto dos sinais"

Se c.m>0 o conjunto solução será S=(r,s), mas se c.m<0 o conjunto solução deverá ser S=(-,r)U(s,).

Exemplo: Seja a desigualdade

Multiplicando a desigualdade acima por (3x+11)², obtemos:

(2x+7)(3x+11)<2(3x+11)²

isto é

(3x+11)[(2x+7)-2(3x+11)]<0

ou seja

(3x+11)(-4x-15)<0

Pondo os números 3 e 4 em evidência, obtemos

-12(x+11/3)(x+15/4)<0

Multiplicando esta última desigualdade por -1/12, obtemos

(x+11/3)(x+15/4) > 0

A função f(x)=(x+11/3)(x+15/4) se anula para r=-11/3 e s=-15/4.

O conjunto solução é S=(-,-15/4)U(-11/3,).

Desigualdade Irracional

É um tipo de desigualdade que contém expressões algébricas sob um ou mais radicais. Existem muitas situações possíveis, mas só usaremos o sinal<para apresentar alguns casos

A raiz quadrada de um número real z>0, será indicada por R[z], para reduzir a inserção de gráficos na página.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade R[2x+3]+R[x-3]<1 depende de trabalharmos um pouco com os radicais. Passamos um dos radicais para o segundo membro

R[2x+3] < 1-R[x-3]

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

2x+3 < 1+(x-3)-2R[x-3]

Simplificando, obtemos

x+5 < -2R[x-3]

Elevamos de novo ao quadrado para obter uma desigualdade quadrática (ou linear)

(x+5)² < 4(x-3)

Não continuaremos a análise deste exemplo, pois este tipo já foi tratado antes.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade

deve ser obtido com cuidado. Não basta multiplicar por x-2 e elevar ao quadrado, mas devemos eliminar a fração, multiplicando toda a desigualdade por (x-2)²

(x-2) R[x+6] < 3 (x-2)²

Elevando os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)²(x+6) < 9 (x-2)4

Passando todas as expressões para o primeiro membro, obtemos

(x-2)²[(x+6)- 9(x-2)²] < 0

que pode escrito como

(x-2)²(9x² +37x -30) < 0

Também não obteremos o conjunto solução, pois já tratamos desse caso antes.

Desigualdade Modular

É uma desigualdade com uma ou mais expressões algébricas dentro de módulos. Também aqui existe uma infinidade de situações possíveis, mas só usaremos o sinal < para apresentar alguns casos

|f(x)|<k, |f(x)| ± |g(x)|<k, |f(x)| ± g(x)<k

Exemplo: Obteremos o conjunto solução da desigualdade

pela eliminação da fração ao multiplicar a desigualdade por (x-2)²

(x-2)|x+6|<3 (x-2)²

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)²(x+6)²<9 (x-2)4

Passando todas as expressões algébricas para o primeiro membro, obtemos

(x-2)²[(x+6)²- 9(x-2)²]<0

que pode escrito como

(-x)(x-2)²(x-6)<0

Não mostraremos como obter o conjunto solução.

Desigualdade Exponencial

São desigualdades onde aparecem funções nos expoentes e as bases das potências devem ser números positivos diferentes de 1, condição importante, pois só podemos definir logaritmos reais com as bases tendo tais valores. Existe uma infinidade de casos, mas apenas apresentaremos dois casos com o sinal >

ax>b, af(x)>b

Exemplo: Podemos obter o conjunto solução da desigualdade

24x-3<8

primeiro pela simplificação à forma

24x-3<2³

A função f(x)=log2(x), (logaritmo de x na base 2) é crescente para todo x positivo e a sua aplicação a ambos os membros da desigualdade, nos garante que

4x-3<3

que é equivalente a

x < 3/2

Assim, o conjunto solução é

S = {x em R: x<3/2 }

Exemplo: Obtemos o conjunto solução da desigualdade

2(x-3)(x-4) > 1

pela aplicação da função logaritmo de base 2 a ambos os membros da desigualdade. Dessa forma

(x-3)(x-4) > 0

O conjunto solução é S={xR: x<3 ou x>4}.

Fonte:pessoal.sercomtel.com.br