Cientista Daniel: MATEMÁTICA: Áreas ( Parte 3)

Fórmulas de cálculo

Retângulo

Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo. Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

$A = l \times w$ (área do retângulo)^[3]

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

$A = l^2 \,\!$ (área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir amultiplicação de números reais.

Dissecção de um paralelogramo.

[editar]Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezóide e numtriângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezóide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

Dois triângulos iguais.

$A = b \times h$ (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

$A=\frac{b \times h}{2}$ (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezóide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos

Área do trapézio:

$A = \frac{B + b}{2} \times h$ (B = base maior; b = base menor; h = altura)^[4]

Área do losango:

$A = \frac{D \times d}{2}$ (D = diagonal maior; d = diagonal menor)

Área de qualquer polígono regular:

$\frac{P \times a}{2}$ (P = perímetro; a = comprimento do apótema)

Dividindo o círculo em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

Círculo

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio $r$ é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é $r$ e a largura é metade dacircunferência do círculo, ou seja, $\pi r$ . Resulta que a área do círculo é $r \times \pi r$ , ou seja, $\pi r^2$ :

$A = \pi \times r^2$ (área do círculo; r = raio)

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez mais pequeno à medida que usamos setores cada vez mais pequenos. O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente $\pi r^2$ , que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor docálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

$A \;=\; \int_{-r}^r 2\sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2.$

Área de uma superfície

Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foiArquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio $r$ é:

$A = 4 \pi r^2 \,\!$ (área da esfera)

Lista de fórmulas

Fórmulas comummente usadas para o cálculo da área

Figura
Formula
Variáveis

Triângulo equilátero
$\frac{L^2}{4} \sqrt{3}\,\!$
$L$ é comprimento de um lado do triângulo.

Triângulo
$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!$
$s$ é metade do perímetro, $a$ , $b$ e $c$ é o comprimento de cada um dos lados.

Triângulo
$\tfrac12 a b \sen(C)\,\!$
$a$ e $b$ são quaisquer dois lados, e $C$ é o ângulo entre eles.

Triângulo
$\tfrac12bh \,\!$
$b$ e $h$ são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.

Quadrado
$s^2\,\!$
$s$ é o comprimendo de um dos lados do quadrado.

Retângulo
$lw \,\!$
$l$ e $w$ são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.

Losango
$\tfrac12ab$
$a$ e $b$ são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.

Paralelogramo
$bh\,\!$
$b$ é o comprimento da base e $h$ é a altura medida na perpendicular.

Trapezóide
$\tfrac12(a+b)h \,\!$
$a$ e $b$ são os lados paralelos e $h$ a distância (altura) entre os lados paralelos.

Hexágono regular
$\frac{3L^2}{2} \sqrt{3}\,\!$
$L$ é o comprimento de um dos lados do hexágono.

Octógono regular
$2(1+\sqrt{2})s^2\,\!$
$s$ é o comprimento de um dos lados do octógono

Polígono regular
$\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n)\,\!$
$l$ é o comprimento de um dos lados e $n$ o número de lados.

Polígono regular
$\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n) = nr^2 \tan(\pi/n)\,\!$
$R$ é o raio do círculo circunscrevente, $r$ o raio do círculo interior, e $n$ é o número de lados.

Polígono regular
$\tfrac12a p \,\!$
$a$ é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e $p$ é o perímetro do polígono.

Círculo
$\pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!$
$r$ é o raio e $d$ o diâmetro.

Setor circular
$\tfrac12 r^2 \theta \,\!$
$r$ e $\theta$ são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).

Elipse
$\pi ab \,\!$
$a$ e $b$ são o semieixo maior esemieixo menor, respetivamente.

Área total da superfície do cilindro
$2\pi r (r + h)\,\!$
$r$ e $h$ são o raio e altura do cilindro.

Superfície lateral do cilindro
$2 \pi r h \,\!$
$r$ e $h$ são o raio e altura do cilindro.

Superfície total docone
$\pi r (r + l) \,\!$
$r$ e $l$ são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.

Superfície total daesfera
$4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!$
$r$ e $d$ são o raio e o diâmetro, respetivamente.

Superfície total dapirâmide
$B+\frac{P L}{2}\,\!$
$B$ é a área da base, $P$ o perímetro da base e $L$ a distância do vértice aos cantos da base.

Cientista Daniel

segunda-feira, 27 de agosto de 2012

MATEMÁTICA: Áreas ( Parte 3)